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对勾股定理的探索与运用探究

时间:2019-07-10 来源:《才智》杂志 作者:admin 点击:

  摘要:本文对勾股定理进一步进行探索和验证,并对勾股定理在判断直角三角形中的运用以及在现实生活中的运用进行了探究。同时对勾股定理的运用需要注意的几个问题进行的提示。如一定要注意勾股定理只对直角三角形适用。以勾股定理为工具构造方程,体现了数形结合这一重要的数学思想。要正确区分勾股定理和它的逆定理,防止混淆和误用等。

  关键词:勾股定理 探索验证 运用提示

  勾股定理是反映客观世界基本规律的一条重要结论,它有着悠久的历史,在数学发展中起过重要的作用,在现实世界中也有着广泛的应用。它的发现、验证和应用蕴涵着丰富的文化价值。古今中外,人们从未停止过对它的研究。

  勾股定理从三边的数量关系这一角度进一步刻画了直角三角形的特征。通过学习,同学们将在原有的基础上对直角三角形有进一步的认识和理解。

  一、探索勾股定理

  1.分别以直角三角形的各边为边长作正方形,通过观察、分析和比较这三个正方形的面积之间的关系,可以发现,以直角边为边长的两个正方形的面积之和等于以斜边为边长的正方形的面积。

  由于每个正方形的面积都等于直角三角形相应边长的平方,因而可得到直角三角形三边之间的如下关系:

  如果直角三角形两直角边分别为a,b,斜边为c,那么a2+b2=c2.即直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方。这就是勾股定理。

  2.勾股定理把直角三角形“形”的特点直接转化为三边的“数”的关系,体现了直角三角形三边之间的一个特定的数量关系,是直角三角形特有的一个性质。

  利用勾股定理,可以由直角三角形的任意两边长,求出第三边的长。在利用勾股定理进行计算时,要注意以下几个问题:

  ⑴注意勾股定理的使用条件:必须是在直角三角形中。

  ⑵注意分清斜边和直角边,避免将数据盲目代入公式致错。

  ⑶有些问题,可以将勾股定理的表示式与完全平方公式结合起来,通过代数变形简捷巧妙地加以解决。

  二、验证勾股定理

  长期以来,人们对勾股定理进行了大量研究,找到了许多不同的验证方法,这些方法不仅验证了勾股定理,而且丰富了研究问题的思想和手段,促进了数学的发展。

  我们应着重了解几种简单的通过拼图来验证勾股定理的方法,这些方法都是将数与形联系起来,由所拼图形的面积表达式之间的关系,通过代数恒等变形验证勾股定理。

  如图1、图2、图3都是利用四个相同的直角三角形拼成的;图4是用两个相同的直角三角形拼成的。

  据上述图形,通过同一图形面积的不同计算方法,即可推导出勾股定理(请自己试一试)。中考中常利用这几种验证方法设计一些探索性、开放性的试题,因此,同学们应认真领会和掌握这些图形和方法,并结合观察、归纳、猜想和验证这一数学发现的过程,体会代数运算与几何图形之间的关系。

  三、判断直角三角形

  1.判断直角三角形的方法

  如果三角形的三边长a,b,c满足a2+b2=c2,那么这个三角形是直角三角形(这一结论实际上是勾股定理的逆定理)。

  2.判别直角三角形时应注意的问题

  ⑴上述方法与勾股定理的条件和结论正好相反,即:由三角形三边之间的数量关系来得出三角形的“形”的特点,体现了由“数”到“形”的转化。它同时也是推导两条直线垂直关系的依据之一。

  ⑵由于条件中的三角形还没有确定是否直角三角形,因此,在运用这一方法解题时,不能使用“直角边”、“斜边”等名称。

  3.判别直角三角形的步骤

  先计算最大边的平方(c2)、两条较短边的平方和(a2+b2),再比较两者的大小。若a2+b2=c2,则△ABC是直角三角形(即∠C=90°);若a2+b2≠c2,则△ABC不是直角三角形。事实上,若a2+b2>c2,则△ABC是锐角三角形;若a2+b2

  4.识别勾股数

  满足a2+b2=c2的三个正整数称为勾股数。即,在给定的三个正整数中,若最大数的平方等于其他两数的平方和,则这组正整数就是勾股数。

  ⑴应记住一些常用的勾股数,如3,4,5;5,12,13;8,15,17;等等。

  ⑵若a,b,c是一组勾股数,则ka,kb,kc(k为正整数)也是一组勾股数。

  ⑶当三角形的边长数据比较大或是小数时,可以利用勾股数简便快捷地判断此三角形是否直角三角形。如,18,24,30这三个数的最大公约数是6,即它们是3,4,5这组勾股数的6倍,所以,边长等于这三个数的三角形一定是直角三角形。又如,1.5,3.6,3.9这三个数,是由勾股数5,12,13变化来的,所以,以它们为边长的三角形也是直角三角形。

  四、应用勾股定理

  勾股定理有着广泛的应用。教材中所介绍的“蚂蚁怎样走最近”的问题,是勾股定理在现实生活中应用的一个典型例子,其实质是“求几何体表面两点之间的最短距离”。对于这类问题,通常是将几何体的表面展开,把立体图形转化为平面图形,使这两个点落在同一平面内,由此得到以这两点为端点的线段为一边的直角三角形,从而根据“两点之间,线段最短”的性质,运用勾股定理加以解决。

  这类问题涉及的几何体主要有长方体、正方体、圆柱等。在将几何体的表面展开时,要注意确定展开图中两点的相应位置。另外,由于将几何体的表面展开时可以有几种不同的情况,因此,有些问题可能会求得几个不同的结果,这就需要通过分析比较选出适合题意的答案。

  五、运用勾股定理需要注意的几个问题

  1.一定要注意勾股定理只对直角三角形适用。有些非直角三角形的计算问题,可以通过添加辅助线等方法,构造出直角三角形,从而为运用勾股定理创造条件。

  2.以勾股定理为工具构造方程,是解决许多几何问题的常用方法,这种方法沟通了代数与几何的联系,体现了数形结合这一重要的数学思想。

  3.当题目中给出的边长未指明是直角边还是斜边时,应通过分类讨论加以解决,而不能把较长的边误认为一定是斜边。

  4.要正确区分勾股定理和它的逆定理,防止混淆和误用。要运用勾股定理时,必须先确定三条边所在的三角形一定是直角三角形。

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